امکان طرح مسئلة استقرا در ریاضی
فرض کنید یادگیری قواعد ریاضی و حتی شمارش اعداد طبیعی حاصل تجربه و تکرار مشاهده باشد. در این صورت می‌توان گفت این فقط یک عادت ناشی از تکرار است که هنگام شمارش اعداد طبیعی بعد از شنیدن نام اعدادی مانند یک و دو و سه، منتظر عدد چهار هستیم. حتی می‌توان گفت همیشه این امکان هست که عدد حاصل از افزودن یک به سه چیزی غیر از چهار باشد و شاید در آینده مجموع زوایای یک مثلث مساوی با دو قائمه نباشد. البته هیچ یک از این احتمال‌ها برای عقل‌گرایان قابل قبول نیست. از نظر آنها نسبت اعداد طبیعی با یکدیگر را از راه شهود عقلی می‌توان فهمید و با روش عقلی می‌توان ترتیب اعداد را تا بی‌نهایت پیش‌بینی کرد. شمارش اعداد برای آنها فقط یک عادت زبانی یا ذهنی نیست و مبتنی بر فهمی عقلی است که با تکیه بر آن به هر انسانی می‌توان این قاعده را آموزش داد که در شمارش اعداد طبیعی هر عدد حاصل افزودن یک عدد به عدد قبلی است. بنابراین در این دنباله به عدد بعد از سه فقط یک عدد اضافه می‌شود و به عدد بعد از یک میلیارد نیز فقط یک عدد افزوده می‌شود و اعداد این دنباله را می‌توان تا بی‌نهایت پیش‌بینی کرد.
البته ریاضی‌دان دنباله‌های زیادی را می‌شناسد که با سه عدد یک و دو و سه شروع می‌شوند اما در آنها عدد چهار وجود ندارد. ولی هر یک از این دنباله‌ها نیز قاعدة خاص به خود را دارند که در تعریف آنها بیان می‌شود و با دانستن تعریف هر دنباله می‌توان عددهای بعدی را تا بی‌نهایت پیش‌بینی کرد. به عنوان نمونه نمایش تابعی جمله‌های دنباله فیبوناتچی Fibonacci sequence این گونه است: 1،1،2،3،5،8،13،21،34،55،89،144،233.... ،. پس این دنباله با دو عدد یک شروع می‌شود و بعد از عدد سه نیز دیگر عدد چهار وجود ندارد. کسی که برای بار نخست این دنباله را می‌بیند شاید نتواند عدد بعدی را حدس بزند. در واقع حتی اگر تا یک میلیون از جمله‌ها را به یک نفر نشان دهیم باز او نمی‌تواند با صرف مشاهدة این جمله‌ها عدد بعدی را حدس بزند. چون همیشه این احتمال وجود دارد که در تعریف این دنباله قید شده باشد که از جملة یک میلیون به بعد میزان افزایش عددها متفاوت خواهد بود. اما این مشکل زمانی وجود دارد که فقط به مشاهده و تجربه تکیه کنیم. در حالی که برای این دنباله جدای از مشاهده یا شنیدن نام اعداد، یک قاعدة عقلی نیز وجود دارد که با توجه به آن می‌توان اعداد بعدی را تا بی‌نهایت پیش‌بینی کرد. در تعریفی که برای این دنباله وجود دارد بیان شده است که به جز دو جملة اول که مساوی با یک هستند، هر جمله از مجموع دو جملة قبلی به دست می‌آید. با فهم این قاعده دیگر نیازی به مشاهدة تعداد زیادی از جمله‌های این دنباله نیست و با داشتن دو عدد می‌توان عدد سوم را پیدا کرد و این پیش‌بینی تا بی‌نهایت ادامه خواهد داشت. پس هر فردی با دانستن این قاعده و با داشتن دو عدد متوالی، بدون نیاز به مشاهدة نمونه‌هایی از این توالی می‌تواند اعداد قبل و بعد را مشخص کند. نقش عقل در فهم این قاعده و تشخیص اعداد قابل انکار نیست. اکنون باید توجه کرد مشابه این وضعیت در علوم تجربی نیز وجود دارد. به عنوان نمونه یک شیمی‌دان نیز برای دانستن خواص یک عنصر در جدول عناصر لازم نیست تعداد زیادی از نمونه‌های آن را مشاهده کند. او با دانستن جایگاه آن عنصر می‌تواند خصوصیات مرتبط را بیان کند. چنین فهمی نیز ماهیتی عقلی دارد و حاصل توجه به ابعاد و کمیاتی مانند عدد اتمی است.
زمانی که دانشمندان می‌گویند "هر آهنی رساناست"، شکاک این قانون علمی را با تعمیمی بی‌دلیل مانند اینکه هر تخم مرغی خام است مقایسه می‌کند و می‌گوید اگر هر تخم‌مرغی که شما تا کنون دیده‌اید خام بوده حق ندارید ادعا کنید هر تخم مرغی خام است. در حالی که خام بودن تخم‌مرغ با رسانا بودن آهن یک تفاوت اساسی دارد. رسانا بودن آهن به ساختار آهن مربوط است و این ساختار را می‌توان با زبانی ریاضی بیان کرد. اما ساختار تخم مرغ به گونه‌ای است که می‌تواند خام یا پخته باشد و اینکه هر تخم مرغی خام است بیانی کمی و ریاضی ندارد و یک تعمیم دلبخواهی است.
اینکه هر تخم مرغی خام است یک تعمیم دلبخواهی و فاقد دلیل است. همان‌گونه که در برابر قوانین علوم تجربی تعمیم‌های دلبخواهی قابل فرض است، در کنار دنباله‌های قاعده‌مند ریاضی نیز می‌توان مجموعه‌ای از اعداد را فرض کرد که بدون هیچ قاعده و تعریفی به صورت دلبخواهی ردیف شده‌اند. در چنین وضعیتی با روش عقلی نمی‌توان عدد بعدی را پیش‌بینی کرد و فقط با تجربه یعنی با شنیدن یا دیدن می‌توان از عدد بعدی آگاه شد. مشاهدة ردیفی از اعداد که قاعدة مشخصی بر آنها حاکم نیست یک تجربه است و فهم تعریف دنباله‌ای که قاعدة مشخصی دارد فهمی عقلی است. مقایسة این دو جایگاه شهود در فهم ریاضی را نشان می‌دهد و همین شهود می تواند در تعمیم قوانین تجربی نیز نقش داشته باشد.
دانشمندان وقتی می گویند هر آهنی رساناست در حال تعمیم مشاهده‌های خود نیستند. آنها برای بیان این حکم حتی نیاز نداشتند یک مورد از آهن را مشاهده کنند. نقش ریاضی در قوانین پیچیدة علمی مانند نقش ریاضی در این حکم ساده است که با دومتر کاغذ دیواری نمی‌توان دیواری ده متری را پوشاند. چنین حکمی نمونه ای ساده از تعمیم مبتنی بر ریاضی است. چنین تعمیم‌هایی با تعامل تجربه و عقل به دست می‌آیند و صرفا نسبت بین تصورات را بیان نمی‌کنند. درک ضرورتی که در این قانون است نیازمند تجربه نیست و ماهیتی ریاضی دارد. زمانی که در خصوص رسانا بودن آهن این احتمال مطرح می شود که شاید روند طبیعت تغییر کند، مانند این است که ادعا شود که شاید در آینده روند طبیعت تغییر کند و با دو متر کاغذ بتوان ده متر از دیوار را پوشاند. مسئله استقرا از زمانی آغاز می شود که نقش ریاضی در چنین تعمیمی را نادیده بگیریم و این تعمیم را به معنای تعمیم حکم مشاهده شده ها به مشاهده نشده ها بدانیم. نقش ریاضی در حل مسئله استقرا به این معناست که قیاس بخشی ضروری از هر استدلال استقرایی است و هر استدلال تجربی ابعادی عقلی دارد.
اما از زمان هیوم در خصوص روش علوم تجربی این تلقی رواج یافت که دانشمندان برای رسیدن به قوانین کلی نمونه‌های محدودی را مشاهده می‌کنند و سپس حکم نمونه‌های مشاهده‌شده را بر اساس عادتی ذهنی به نمونه‌های مشاهده‌نشده تعمیم می‌دهند. از نظر طرفداران هیوم کار ریاضی دان نیز این است که معنای تصورات خود را بیان می کند و این معانی ربطی به جهان خارج ندارد. روشن است که اگر تنها راه شناخت تجربه و مشاهده باشد، هر تعمیمی فرا رفتن از مشاهده است و نتیجة آن به دلیل آنکه مبتنی بر مشاهده نیست، فاقد دلیل معرفتی است. با این پیش‌فرض که تنها راه شناخت تجربه است استدلال شد که از خام بودن تعدادی از تخم‌مرغ‌ها نمی‌توانیم نتیجه گرفت که هر تخم‌مرغی خام است و از رسانا بودن تعدادی آهن نیز نمی‌توان نتیجه گرفت که هر آهنی رساناست. شاید ویتگنشتاین شاید با توجه به همین مطالب است که دربند 194 از پژوهش‌ها نوشت: "ما هنگام فلسفیدن، مانند وحشی‌ها، مانند انسان‌های ابتدایی، هستیم که به شیوة سخن گفتن انسان‌های متمدن گوش می‌کنند، تفسیر اشتباهی بر آن بار می‌کنند وسپس احمقانه‌ترین نتیجه‌ها را از آن می‌گیرند."
